Είναι 100 κρατούμενοι σε μια φυλακή.
Καθένας έχει έναν αριθμό από το 1 μέχρι το 100.
Σε μία αίθουσα υπάρχουν 100 κουτιά αριθμημένα πάνω τους με ένα αριθμό από το 1 μέχρι το 100.
Το κάθε κουτί μέσα του περιέχει έναν αριθμό από το 1 μέχρι το 100.
Ο κάθε κρατούμενος μπαίνει μία φορά στην αίθουσα με τα κουτιά και μπορεί να ανοίξει μέχρι 50 κουτιά με στόχο να βρει μέσα σε ένα κουτί τον αριθμό του.
Μόλις σταματήσει να ανοίγει κουτιά, είτε βρεί είτε όχι, βγαίνει από την αίθουσα και την αφήνει όπως την βρήκε. Αν βρουν όλοι τα νούμερα τους, τότε αποφυλακίζονται.
Αν ένας δεν βρει το νούμερο του, τότε εκτελούνται όλοι.
Η πρώτη ερώτηση είναι ποια η πιθανότητα να βγουν ζωντανοί;
Η δεύτερη ερώτηση είναι αν υπάρχει κάποια στρατηγική που μπορούν να σχεδιάσουν ως προς το πώς θα ανοίγουν τα κουτιά ώστε να έχουν καλύτερες πιθανότητες.
Σκεφτείτε λίγο πριν δείτε τη λύση. Λύση: Κάθε κρατούμενος έχει μια πιθανότητα 1/2 (50%) να βρει τον αριθμό του και 1/2 να μην τον βρει. Συνεπώς, η πιθανότητα να το βρουν όλοι είναι:
Ρ=(1/2)^100
Αυτό είναι περίπου 7.888609×10^(-31) ή περίπου 0.0000000000000000000000000000789 ή 0.00000000000000000000000000789%, δηλαδή πολύ κοντά στο μηδέν.
Άρα αν ανοίγει ο καθένας τυχαία 50 κουτιά είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα χάσουν.
Υπάρχει μια στρατηγική που αν την ακολουθήσουν θα αυξήσουν την πιθανότητα επιβίωσης τους στο 31%. Δηλαδή 31 στις 100 φορές, ΟΛΟΙ οι κρατούμενοι θα έχουν βρει τον αριθμό τους και 69 στις 100 φορές κάποιος δεν θα τον έχει βρει. Υπάρχει λοιπόν μια σημαντική βελτίωση. Πώς θα γίνει αυτό όμως; Υπάρχουν 100! = 1*2*3*4*...*100 = 9.332622 * 10^157 τρόποι να τοποθετηθούν οι αριθμοί μέσα στα κουτιά. Όμως τα νούμερα 1 2 3 ... 100 είναι η ιδιά σειρά με τα νούμερα 100 1 2 3 ... 99 απλά έχουν διαφορετική εκκίνηση. Επομένως, υπάρχουν (100!/100) τρόποι να βάλεις τα νούμερα. Τελικά, για να είναι μια σειρά αριθμών μήκους 100 αριθμών, η πιθανότητα είναι 1/100. Για να είναι 99 αριθμοί είναι 1/99 κ.ο.κ. Για να είναι 51 αριθμοί, είναι 1/51 κλπ. Αρά, η πιθανότητα να μην είναι ο αριθμός του κρατουμένου στα 50 κουτιά που θα ανοίξει, είναι αν ο αριθμός του βρίσκεται σε μια ακολουθία 51 αριθμών ή 52 αριθμών κλπ, δηλαδή 1/51+1/52+1/53+...+1/100, αυτό είναι ένα ποσοστό 69%, αρά το να πέτυχουν όλοι οι κρατούμενοι τον αριθμό τους είναι 31%.
Για να συμβεί αυτό θα πρέπει κάθε κρατούμενος να εκκινήσει με το κουτί που γράφει τον αριθμό του και κάθε φορά το επόμενο κουτί που θα ανοίγει να είναι το νούμερο που βρήκε μέσα στο κουτίπου μόλις άνοιξε. Αν όλοι ακολουθήσουν αυτή την στρατηγική θα έχουν ο καθένας πάλι 50% πιθανότητα να βρει το νούμερό του και αθροιστικά 31% πιθανότητα να το βρουν όλοι και να γλιτώσουν, ενώ αν κάνουν τυχαίες επιλογές ο καθένας η πιθανότητα να σωθούν είναι 0.00000000000000000000000000789% όπως είπαμε.
Σκεφτείτε το...
Comments